Problèmes d’intersections improbables en arithmétique

Abstract

Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant dela théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avecdes méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre,on considère un problème de type André-Oort dont la preuvenon-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre lecas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modulessinguliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstrationcombine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes duj-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relationlinéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne uneborne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a xG_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, oncontinue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques,et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. Onconsidère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique,pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéauxde l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété deAilon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combinedes arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.