Gravité quantique comme théorie des champs de géométries discrètes

Abstract

La formulation de Plebanski de la relativité générale montre que la gravité en quatre dimensions peut être étudiée comme un modèle topologique contraint. Cela a conduit à la mise au point d'une partie de la gravité quantique communauté vers les théorie topologiques (quantiques) des champs. Dans ce contexte, des modèles de somme d'états sont utilisés pour décrire des variétés invariantes. Les états de la théorie quantique sont des décompositions cellulaires d'une variété et la fonction de partition est une somme sur de telles géométries discrètes. Dans cette thèse, je traite différentes approches de la gravité quantique basées sur la description de géométries discrètes avec des modèles de somme d'états. Dans la première part de ma thèse, je résume brièvement les modèles matriciels, les modèles tensoriels et le modèle SYK. Le modèle matriciel s'agit d'une formulation d'intégrale de chemin dont les champs fondamentaux sont des matrices. Les diagrammes de Feynman sont des cartes planaires interprétées comme des graphes dual aux 2d discrètes géométries. La fonction de partition des modèles matriciels a été exprimée comme une somme sur les topologies 2d dont l'expansion est dominée par les riangulations de la sphère. Le grand succès des modèles matriciels a suggéré la description de la gravité quantique dans des dimensions supérieures avec des tenseurs. Cependant, contrairement aux modèles matriciels, la fonction de partition des tenseurs aléatoires s'est avérée être dominée par des graphes assez simples qui ne codent pas les degrés de liberté gravitationnels appropriés. Toutefois, les modèles tensoriels ont jeté les bases des théories des champs de groupe et ont joué un rôle de premier plan dans l'étude du modèle Sachdev-Ye-Kitaev. Il s'agit d'une théorie quantique des champs 1d qui décris l'interaction d'un nombre arbitraire de fermions couplés par un tenseur aléatoire. En ce sens, le modèle SYK est un exemple de système quantique à plusieurs corps, avec une interaction chaotique non locale. Le modèle SYK attire encore plus l'attention en tant que modèle de jouet unidimensionnel pour la dualité AdS/CFT. Je discute de la généralisation d'un modèle SYK où les couplages obéissent à une distribution non-gaussienne. Je prouve l'universalité gaussienne et donne la action effective du modèle. La deuxième part est consacrée aux théories des champs de groupe. Boulatov a proposé une théorie qui vise à récupérer les graphes générés par le modèle de Ponzano-Regge (réseaux de spins) comme diagrammes de Feynman d'une théorie des champs. Le modèle a été appelé théorie des champs de groupe et a ensuite été généralisé en quatre dimensions. Les théories des champs de groupe peuvent être interprété comme la deuxième description quantifiée d'un système quantique à plusieurs corps où les états sont les éléments constitutifs d'une géométrie discrète; la fonction de partition est étendue en tant que somme sur les amplitudes de tels états (mousses de spin) qui sont associées au spectre d'un groupe G donné. Je passe d'abord brièvement en revue les ingrédients essentiels du modèle, puis je propose deux nouvelles généralisations. La première est basée sur les algèbres de Hopf et vise à décrire toute théorie de champ de groupe possible associée à un espace des phases où à la fois la configuration et les espaces de quantité de mouvement sont courbes et non commutatifs. La deuxième généralisation est plutôt basée sur les 2-groupes. Dans cette partie, je donnerai d'abord quelques arguments selon lesquels 2-groupes sont nécessaires pour décrire des variétés à quatre dimensions; je discuterai de la construction d'un espace des phases décoré par des éléments à 2 groupes puis j'appliquerai ce résultat pour construire la théorie des champs de groupes associée, exprimant la fonction de partition sous la forme d'une somme d'états.