Rangs des tenseurs : bases pour la réduction de dimension et la séparation des variables

Abstract

Un tenseur est notamment un tableau à plusieurs entrées qui peut représenter, outre un jeu de données, l'expression d'une loi jointe ou d'une fonction multivariée. Il contient alors la description des interactions entre les variables correspondant à chacune des entrées. Le rang d'un tenseur étend à des tableaux à plus de deux entrées la notion de rang d'une matrice, sachant qu'il existe plusieurs approches pour construire une telle extension. Lorsque le rang vaut un, les variables sont séparées, et lorsqu'il est faible, les variables sont faiblement couplées. Bien des calculs sont plus simples sur des tenseurs de rang faible. Aussi, approcher un tenseur donné par un tenseur de rang faible permet de les rendre possibles pour calculer certaines caractéristiques d'un tableau, comme par exemple la fonction de partition quand il s'agit d'une loi jointe. Dans cette note, nous présentons en détail une approche intégrée et progressive pour approcher un tenseur donné par un tenseur de rang plus faible, par une utilisation systématique de l'algèbre tensorielle. La notion de tenseur est définie rigoureusement, puis des opérations élémentaires mais utiles sur les tenseurs sont présentées. Après avoir rappelé plusieurs notions différentes pour le rang d'un tenseur, nous montrons comment ces opérations élémentaires peuvent être combinées pour construire des algorithmes d'approximation de rang faible. Le dernier chapitre est consacré à appliquer cette approche aux tenseurs construits comme la discrétisation d'une fonction multivariée, pour montrer que sur une grille cartésienne, le rang de tels tenseurs est en général faible.