Stabilisation des systèmes décrivant le mouvement des vagues et leurs interactions avec un objet flottant

Abstract

Ce travail est consacré à l'étude des propriétés de contrôlabilité et de stabilisabilité pour des systèmes et leurs interactions avec un objet flottant. Les équations utilisées pour les vagues sont une version entièrement linéaire et entièrement dispersive de la formulation de Zakharov-Craig-Sulem. Pour l'interaction des vagues avec un objet flottant on utilise les équations des eaux peu profondes (Saint-Venant).La première partie de cette thèse a pour objectif d'étudier la stabilisabilité d'une classe de système de commande avec générateur anti-adjoint. Ceci est motivé par le problème de contrôle du système linéarisé de vagues. Avec les hypothèses sur le spectre des opérateurs d'évolution impliqués dans le système de contrôle, nous obtenons un taux de décroissance non uniforme explicite de l'énergie de ce système, à condition que les données initiales soient lisses.Nous considérons dans les deux parties suivantes le système de vagues avec amplitude faible dans un rectangle, où le contrôle agit sur une frontière latérale, en imposant la vitesse de l'eau. Nous étudions d'abord le caractère bien posé de l'ensemble du système, qui est abordé en formulant les équations comme un système de contrôle linéaire abstrait. Après, nous obtenons le taux de décroissance de l'énergie en utilisant les résultats généraux de la première partie. Ensuite, nous étudions le comportement asymptotique de la solution en régime d'eau peu profonde. Il s'avère que le système de vagues d'eau converge vers l'équation des vagues en 1D avec contrôle aux limites de Neumann, lors de la prise de la limite de faible profondeur.Dans la dernière partie, nous nous intéressons à un objet rigide flottant dans un réservoir d'eau. L'objet se déplace uniquement dans la direction verticale et le contrôle est une force verticale imposée agissant sur l'objet. Nous dérivons les équations non linéaires pour ce système et étudions l'espace atteignable et la stabilisabilité des équations linéarisées dans divers cas.